Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sunday, March 26, 2017

Pada Informasi bidang sain dan matematika seringkali ditampilkan dalam bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajaran empat persegi panjang yang disebut matriks. Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh melalui pengamatan fisik, tatapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks matematika. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan, seluruh informasi yang dibutuhkan untuk memperoleh solusinya dapat dirangkum dalam matriks dan solusinya dapat diperoleh dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap matriks ini. Hal ini terutama sangat penting dalam pengembangan program komputer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, karena komputer sangat sesuai untuk memanipulasi deret-deret informasi numerik. Namun demikian, matriks bukan merupakan alat notasi untuk menyelesaikan sistem persamaan; matriks juga dapat dilihat sebagai suatu objek matematis tersendiri yang memilki beragam teori penting dengan aplikasi yang luas.
Konten dari slides-slides (pdf) berikut ini bersumber dari buku teks: Howard Anton dan Chris Rorres, "Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi", Edisi Kedelapan/jilid 1, Penerbit Erlangga, 2004.

>>>>>> Sistem_Persamaan_Linier_A.pdf
>>>>>> Sistem_Persamaan_Linier_B.pdf
>>>>>> Sistem_Persamaan_Linier_C.pdf

>>>>>>Soal_dan_Pembahasan_Sistem_Persamaan_Linier.pdf


Determinan

Fungsi determinan yang merupakan fungsi dari suatu variabel matriks dengan nilai real yang mengasosiasikan suatu bilangan real f(X) dengan suatu matriks bujursangkar X. Fungsi determinan memiliki aplikasi penting bagi teori sistem persamaan linier dan juga akan mengarahkan kita pada suatu rumus eksplisit untuk invers dari matriks yang dapat dibalik.
Konten dari slides-slides (pdf) berikut ini bersumber dari buku teks: Howard Anton dan Chris Rorres, "Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi", Edisi Kedelapan/jilid 1, Penerbit Erlangga, 2004.
userscloud.com >>

Soal dan Pembahasan Determinan 01

1. Tunjukkan bahwa
bc b + c 1 ca c + a 1 ab a + b 1 = ( a b ) ( b c ) ( c a )

>>> download penyelesaian

2. Tunjukkan bahwa
b + c a b a c + a b c b a + b c a c = 3 abc a 3 b 3 c 3

>>> download penyelesaian


 3. Tunjukkan bahwa
1 bc b + c 1 ca c + a 1 ab a + b = 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2
>>> download penyelesaian

4. Cari x dimana x memenuhi  x 2 2 x 3 3 x 4 x 4 2 x 6 3 x 16 x 8 2 x 27 3 x 64 = 0
>>> download penyelesaian 
 

Ruang Vektor Euclidean

Gagasan untuk menggunakan pasangan bilangan untuk menentukan posisi titik-titik pada suatu bidang dan triple bilangan untuk menentukan posisi titik-titik pada ruang dimensi 3 dikemukakan pertama sekali pada pertengahan abat ketujuh belad. Selanjutnya gagasan ini diperluas untuk dimensi yang lebih tinggi. Jadi suatu tupel n bilangan-bilangan adalah satu titik pada ruang ”berdimensi n”. Pada bab ini akan dipelajari sifat-sifat operasi vektor pada ruang jenis ini.
Konten dari slides-slides (pdf) berikut ini bersumber dari buku teks: Howard Anton dan Chris Rorres, "Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi", Edisi Kedelapan/jilid 1, Penerbit Erlangga, 2004.

Ruang_Vektor_Euclidean_A.pdf

Ruang_Vektor_Euclidean_B.pdf

Ruang_Vektor_Euclidean_C.pdf


RUANG VEKTOR UMUM (Vector Space)

Pada bab ini konsep vektor pada ruang berdimensi 2 dan 3 akan digeneralisasi. Suatu himpunan aksioma yang jika dipenuhi oleh suatu golongan objek, maka objek-objek tersebut disebut sebagai vektor. Vektor-vektor yang digeneralisasi ini termasuk matriks dan fungsi. Konsep ruang vektor umum sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi geometrik dalam matematika dimana intuisi geometrik tidak dapat digunakan. Karena aksioma-aksioma yang digunakan untuk medefinisikan vektor jenis baru tersebut didasarkan pada sifat-sifat dari vektor-vektor pada R2 dan R3, maka vektor-vektor baru ini akan memiliki banyak sifat yang sama dengan vektor-vektor di R2 dan R3.
Konten dari slides-slides (pdf) berikut ini bersumber dari buku teks: Howard Anton dan Chris Rorres, "Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi", Edisi Kedelapan/jilid 1, Penerbit Erlangga, 2004.


RUANG HASILKALI DALAM

Pada bab ini kita akan memperluas konsep hasilkali dalam Euclidean di ruang R2 dan ruang R3 ke dalam ruang Rn dan menggunakannya untuk mendefinisikan panjang, jarak dan sudut dalam Rn. Konsep hasilkali dalam diperluas dengan cara mengekstraksi sifat-sifat terpenting darihasilkali dalam Euclidean pada ruang Rn dan kemudian mengolahnya menjadi aksioma-aksioma umum yang dapat diterapkan pada vektor umum. Generalisasi konsep hasilkali dalam ini dapat digunakan untuk mendefinisikan konsep-konsep panjang, jarak dan sudut di dalam ruang vektor umum.
Konten dari slides-slides (pdf) berikut ini bersumber dari buku teks: Howard Anton dan Chris Rorres, "Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi", Edisi Kedelapan/jilid 1, Penerbit Erlangga, 2004.

>>>>>>  Ruang Hasilkali Dalam.pdf

Soal dan Pembahasan Hasilkali Dalam

Definisi hasilkali dalam:
Untuk x , y S , hasilkali dalam (inner product) x , y adalah suatu fungsi , : S × S C (atau R jika S adalah ruang vektor real) dengan sifat-sifat:
1. x , y = y , x ¯ ,
2. α x , y = α x , y
3. x + y , z = x , z + y , z
4. x , x > 0 jika x 0 dan x , x = 0 x = 0 .

Soal- Peyelesaian

1. Tunjukkan bahwa x , α y = α ¯ x , y .

Penyelesaian >>>
2. Tunjukkan bahwa x , y + z = x , y + x , z .
Penyelesaian >>>
3. Tunjukkan bahwa x , y + y , x = 2  Re  x , y .
Penyelesaian >>>
4. Tunjukkan bahwa x , y y , x = 2 i  Im  x , y .
Penyelesaian >>>
5. Tunjukkan bahwa α x , β y = α β ¯ x , y .
Penyelesaian >>>
6. Tunjukkan bahwa α x , α y = | α | 2 x , y .
Penyelesaian >>>
7. Tunjukkan bahwa x , y = x , y .
Penyelesaian >>>
8 Tunjukkan bahwa x , 0 = 0 .
Penyelesaian >>>
9. Tunjukkan bahwa 0 , y = 0 .
Penyelesaian >>>
10. Tunjukkan bahwa x, y   adalah selalu bilangan real.
        Penyelesaian >>>