Soal dan Pembahasan Determinan 01

 Soal dan Pembahasaa Determinan

1. Tunjukkan bahwa $\left|\begin{array}{ccc}bc& b+c& 1\\ ca& c+a& 1\\ ab& a+b& 1\end{array}\right|=(a-<!--\; -\; -->b)(b-<!--\; -\; -->c)(c-<!--\; -\; -->a)$. 
     Penyelesaian >>>

2. Tunjukkan bahwa $\left|\begin{array}{ccc}b+c& a-<!--\; -\; -->b& a\\ c+a& b-<!--\; -\; -->c& b\\ a+b& c-<!--\; -\; -->a& c\end{array}\right|=3abc-<!--\; -\; -->a^3-<!--\; -\; -->b^3-<!--\; -\; -->c^3$.

Penyelesaian >>>

3. Tunjukkan bahwa $\left|\begin{array}{ccc}1& bc& b+c\\ 1& ca& c+a\\ 1& ab& a+b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|$. 
     Penyelesaian >>>


4. Cari $x$ jika diberikan $$\left|\begin{array}{ccc}x-<!--\; -\; -->2& 2x-<!--\; -\; -->3& 3x-<!--\; -\; -->4\\ x-<!--\; -\; -->4& 2x-<!--\; -\; -->9& 3x-<!--\; -\; -->16\\ x-<!--\; -\; -->8& 2x-<!--\; -\; -->27& 3x-<!--\; -\; -->64\end{array}\right|=0.$$. 
     Penyelesaian >>>

5. Tunjukkan bahwa determinan dari matriks $${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})& \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})& 1\\ \cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})& \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})& 1\\ \cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})& \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})& 1\end{array}\right]}$$ adalah bebas (tidak memuat) dari $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$. 
     Penyelesaian >>>

6. Misalkan $A,B\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{3\times <!--\; \times \; -->3}$. Andaikan bahwa $det(A)=2$ dan $det(B)=4$. Berapakah nilai dari $det(2A^{\mathsf{T}}{B}^{-<!--\; -\; -->1})$? 
     Penyelesaian >>>

7. Buktikan bahwa $\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& bc& ac+c^2\\ a^2+ab& b^2& ac\\ ab& b^2+bc& c^2\end{array}\right|=4a^2{b}^2{c}^2$. 
      Penyelesaian >>>

8. Tunjukkan bahwa $$\left|\begin{array}{ccc}a& a+b& a+b+c\\ 2a& 3a+2b& 4a+3b+2c\\ 3a& 6a+3b& 10a+6b+3c\end{array}\right|=a^3.$$ 
     Penyelesaian >>>

9. Jika $a,b,c$ berbeda, $abc\not\equiv 0$ dan $\left|\begin{array}{ccc}a& a^3& a^4-<!--\; -\; -->1\\ b& b^3& b^4-<!--\; -\; -->1\\ c& c^3& c^4-<!--\; -\; -->1\end{array}\right|=0$ maka buktikan bahwa $abc(ab+bc+ca)=a+b+c$. 
     Penyelesaian >>>

10. Buktikan bahwa $\left|\begin{array}{ccc}-<!--\; -\; -->2a& a+b& c+a\\ b+a& -<!--\; -\; -->2b& b+c\\ c+a& c+b& -<!--\; -\; -->2c\end{array}\right|=4(a+b)(b+c)(c+a)$. 
     Penyelesaian >>>